حل تمرین صفحه 25 ریاضی هفتم

این جملات، قوانین اصلی مربوط به علامت‌ها در ضرب و تقسیم اعداد صحیح را بیان می‌کنند. - اگر حاصل ضرب یک عدد طبیعی (که همیشه مثبت است) در یک عدد صحیح، منفی شود، آن عدد صحیح **منفی** است. (زیرا: $مثبت \times منفی = منفی$) - اگر حاصل تقسیم دو عدد صحیح بر هم عددی منفی شود، یکی از آن عددهای صحیح **مثبت** و دیگری **منفی** است. (زیرا برای داشتن حاصل منفی، دو عدد باید علامت‌های مختلف داشته باشند.) - اگر ضرب دو عدد صحیح، صفر شود، حداقل یکی از آنها **صفر** است. (این قانون به عنوان اصل حاصل‌ضرب صفر شناخته می‌شود.) - اگر حاصل تقسیم دو عدد صحیح، مثبت باشد، ضرب آن دو عدد صحیح **مثبت** است. (زیرا اگر حاصل تقسیم مثبت باشد، دو عدد هم‌علامت هستند، و حاصل‌ضرب دو عدد هم‌علامت نیز همیشه مثبت است.)

برای تعیین علامت نهایی، ابتدا علامت حاصل هر پرانتز را مشخص کرده و سپس از قوانین ضرب علامت‌ها استفاده می‌کنیم. - **عبارت اول: $(-۲۷۵+۵۰) \times (-۴۰+۲۰)$** - پرانتز اول: $(-۲۷۵+۵۰) \implies$ حاصل **منفی** است. - پرانتز دوم: $(-۴۰+۲۰) \implies$ حاصل **منفی** است. - حاصل نهایی: $(منفی) \times (منفی) = $ **مثبت** - **عبارت دوم: $(-۲۱۰-۸۰) \times (-۵۰+۶۰)$** - پرانتز اول: $(-۲۱۰-۸۰) \implies$ حاصل **منفی** است. - پرانتز دوم: $(-۵۰+۶۰) \implies$ حاصل **مثبت** است. - حاصل نهایی: $(منفی) \times (مثبت) = $ **منفی** - **عبارت سوم: $(-۸۰ \div ۴) \times (-۲۰ \times ۳)$** - پرانتز اول: $(-۸۰ \div ۴) \implies$ حاصل **منفی** است. - پرانتز دوم: $(-۲۰ \times ۳) \implies$ حاصل **منفی** است. - حاصل نهایی: $(منفی) \times (منفی) = $ **مثبت** - **عبارت چهارم: $(-۸۰-۴۰) \times (-۴۰ \div ۵)$** - پرانتز اول: $(-۸۰-۴۰) \implies$ حاصل **منفی** است. - پرانتز دوم: $(-۴۰ \div ۵) \implies$ حاصل **منفی** است. - حاصل نهایی: $(منفی) \times (منفی) = $ **مثبت**

برای پیدا کردن عدد مناسب در هر جای خالی، از عملیات معکوس (ضرب به جای تقسیم و برعکس) استفاده می‌کنیم. | عبارت | پاسخ | عبارت | پاسخ | عبارت | پاسخ | | :--- | :---: | :--- | :---: | :--- | :---: | | $(-۲۰۰) \div \Box = ۲۰$ | **$-۱۰$** | $-۴۰۰ \div \Box = -۸۰$ | **$+۵$** | $(+۱۰۰) \div \Box = -۲۰$ | **$-۵$** | | $۲۰ \div \Box = -۴$ | **$-۵$** | $-۸ \times \Box = ۸۰$ | **$-۱۰$** | $-۱۰۰ \div \Box = ۲۰$ | **$-۵$** |

برای اینکه حاصل‌ضرب دو عدد صحیح، عددی منفی (مانند $-۱۲$) شود، باید یکی از آن دو عدد مثبت و دیگری منفی باشد. ابتدا تمام جفت عددهایی که حاصل‌ضربشان ۱۲ می‌شود را پیدا می‌کنیم و سپس حالت‌های منفی را برایشان در نظر می‌گیریم. جفت اعداد طبیعی برای ۱۲ عبارتند از: - ۱ و ۱۲ - ۲ و ۶ - ۳ و ۴ حالا برای هر جفت، علامت منفی را به یکی از اعداد اختصاص می‌دهیم تا تمام حالت‌های ممکن برای $-۱۲$ به دست آید: - $(+۱) \times (-۱۲) = -۱۲$ و $(-۱) \times (+۱۲) = -۱۲$ - $(+۲) \times (-۶) = -۱۲$ و $(-۲) \times (+۶) = -۱۲$ - $(+۳) \times (-۴) = -۱۲$ و $(-۳) \times (+۴) = -۱۲$ بنابراین، **۶ جفت** عدد صحیح ممکن وجود دارد.

برای محاسبه این عبارت‌ها، قانون **ترتیب انجام عملیات** را رعایت می‌کنیم، یعنی ابتدا عملیات داخل پرانتزها را انجام می‌دهیم. - **عبارت اول: $((+۳)+(-۷)) \div (-۵)$** ۱. حاصل پرانتز: $(+۳)+(-۷) = -۴$ ۲. انجام تقسیم: $(-۴) \div (-۵) = +۰.۸$ **پاسخ:** $+۰.۸$ - **عبارت دوم: $((-۲)+(+۲)) \times (-۵)$** ۱. حاصل پرانتز: $(-۲)+(+۲) = ۰$ ۲. انجام ضرب: $۰ \times (-۵) = ۰$ **پاسخ:** $۰$ - **عبارت سوم: $-۵ \times (-۴-(-۳))$** ۱. حاصل پرانتز: $-۴ - (-۳) = -۴ + ۳ = -۱$ ۲. انجام ضرب: $-۵ \times (-۱) = +۵$ **پاسخ:** $+۵$ - **عبارت چهارم: $(-۵-۴) \times (-۶)$** ۱. حاصل پرانتز: $-۵ - ۴ = -۹$ ۲. انجام ضرب: $(-۹) \times (-۶) = +۵۴$ **پاسخ:** $+۵۴$

برای حل این مسئله، ابتدا اطلاعات کلیدی را مشخص می‌کنیم: - **مبدأ:** شاهرود (مکان: $۰$ km، زمان: $۰$ ساعت) - **سرعت قطار:** $۶۰$ کیلومتر بر ساعت - **مسیر مشهد تا شاهرود:** $۱۲۰۰ \div ۲ = ۶۰۰$ کیلومتر - **مسیر شاهرود تا تهران:** $۶۰۰$ کیلومتر **پاسخ به سؤالات:** - **زمان حرکت از مشهد:** قطار برای طی کردن $۶۰۰$ کیلومتر تا شاهرود به $۶۰۰ \div ۶۰ = ۱۰$ ساعت زمان نیاز دارد. چون این زمان قبل از رسیدن به مبدأ است، پس قطار در ساعت **$-۱۰$** از مشهد حرکت کرده است. - **زمان رسیدن به تهران:** قطار برای طی کردن $۶۰۰$ کیلومتر از شاهرود تا تهران به $۱۰$ ساعت دیگر نیاز دارد. پس در ساعت **$+۱۰$** به تهران می‌رسد. - **مکان قطار در ساعت $-۳$:** در ساعت $-۳$ (۳ ساعت قبل از رسیدن به شاهرود)، فاصله قطار تا شاهرود $۳ \times ۶۰ = ۱۸۰$ کیلومتر بوده است. پس مکان آن **$-۱۸۰$ کیلومتر** است. - **زمان بودن در $۲۴۰$ کیلومتری بعد از شاهرود:** برای طی کردن $۲۴۰$ کیلومتر با سرعت $۶۰$ km/h، به $۲۴۰ \div ۶۰ = ۴$ ساعت زمان نیاز است. پس قطار در ساعت **$+۴$** در این مکان خواهد بود. **جدول کامل شده:** (مکان = زمان × سرعت) | زمان (برحسب ساعت) | -۱۰ | -۸ | -۶ | -۴ | -۲ | ۰ | ۲ | ۴ | ۶ | ۸ | ۱۰ | | :--- | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | **مکان قطار نسبت به شاهرود** | -۶۰۰ | -۴۸۰ | **-۳۶۰** | **-۲۴۰** | **-۱۲۰** | **۰** | **۱۲۰** | **۲۴۰** | **۳۶۰** | **۴۸۰** | **۶۰۰** |